O efeito pelicular em condutores cilíndricos e retangulares: correntes parasitas e aglomeração de correntes

Uma corrente variável no tempo tem uma distribuição não uniforme em toda a área da seção transversal do condutor. Para aproximar a resistência de alta frequência de um condutor, podemos assumir que toda a corrente flui uniformemente em uma camada com a profundidade de uma camada logo abaixo da superfície do condutor. Esta aproximação é realmente alcançada para um caso especial onde o condutor é um meio-espaço.

Na prática, os condutores reais têm dimensões finitas e podem ter seção transversal circular ou retangular. A questão a ser colocada é se os resultados obtidos para um meio-espaço condutor podem ou não ser aplicados a outros tipos de fio.

Podemos resolver as equações de Maxwell para um bom condutor para encontrar a seguinte equação diferencial para a densidade de corrente J:

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Se você está enferrujado nos conceitos de cálculo vetorial, o símbolo intimidante ∇2 (Del ao quadrado) é chamado de operador Laplaciano. Simplificando, o operador Laplaciano é uma generalização do conceito de segunda derivada em espaços com mais de uma dimensão. É dado por:

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

A Equação 1 descreve a distribuição de corrente em um bom condutor. É válido tanto para um meio espaço condutor quanto para um fio com seção transversal circular. No entanto, as soluções que obtemos para estes dois tipos de meios são completamente diferentes. Para um meio-espaço condutor, a densidade de corrente é uma função sinusoidal simples com decaimento exponencial (se assumirmos que estamos lidando com uma onda plana). Mas e um condutor cilíndrico?

Com base na sua experiência em outros campos da física que envolvem uma base cilíndrica, você deve ter adivinhado corretamente que a resposta à Equação 1 deveria incluir funções de Bessel quando o fio tivesse uma seção transversal circular. Isso não é uma boa notícia para nós, engenheiros, que estamos sempre tentando desenvolver um modelo simples para diferentes fenômenos. As funções de Bessel são úteis na modelagem de uma ampla gama de problemas físicos, desde a condução de calor em um objeto cilíndrico até a descrição das vibrações de uma membrana circular fina, como uma pele de tambor. No entanto, eles podem ser difíceis de visualizar e, obviamente, são muito menos simples do que uma simples onda senoidal com decaimento exponencial.

Devido à complexidade destas funções, não entraremos nos detalhes matemáticos da análise e apenas observaremos os resultados apresentados no livro “Campos e Ondas em Eletrônica de Comunicação” de Simon Ramo. A Figura 1 mostra a magnitude normalizada da distribuição de corrente através da seção transversal de um fio redondo de 1 mm de diâmetro em quatro frequências diferentes.

O parâmetro r0 no gráfico acima denota o raio do fio. A uma frequência (f) de 1 kHz, a profundidade da pele é cerca de 4,2 vezes maior que o raio do condutor (ou equivalentemente r0/δ = 0,239). Como você pode ver, a distribuição atual é quase uniforme neste caso.

À medida que a frequência aumenta, a profundidade da pele diminui e a relação r0/δ aumenta de 0,239 a 1 kHz para 7,55 a 1 MHz. Observe que mesmo para r0/δ=2,39, a densidade de corrente no centro do fio é quase metade daquela na superfície do condutor. Isto não é consistente com a descrição simplificada do efeito pelicular afirmando que a densidade de corrente reduz para e-1 = 0,37 do seu valor superficial a uma profundidade de δ.

A Figura 2 compara as distribuições reais de corrente para r0/δ=2,39 e r0/δ=7,55 com a distribuição exponencialmente decrescente da densidade de corrente (que corresponde à propagação da onda em um meio-espaço condutor). Como você pode ver, os resultados do caso de meio espaço podem ser usados ​​para aproximar a distribuição real de corrente em um fio redondo somente se o raio de curvatura do condutor for muito maior que a profundidade da pele.

Como regra geral, se todos os raios de curvatura e espessuras do condutor forem pelo menos 3-4 vezes maiores que a profundidade da pele, assumimos que um determinado condutor se assemelha a um bloco semi-infinito. Até agora, nesta série de duas partes, contamos com a resolução das equações de Maxwell para descrever algumas das características mais importantes do efeito pelicular. Uma visão mais profunda (e talvez mais útil) desse efeito pode ser desenvolvida observando como a lei da indução de Faraday pode produzir correntes parasitas dentro do condutor. Armados com esse insight, podemos compreender melhor como se comportam diferentes interconexões.